２０２０年 京都大学 理系数学

＜解説＞

　京都大の数学は、小問に区切った問題はほとんどありません。小問(1)(2)で出題されている「意図」を考える必要があります。(2)は(1)を使わなければいけないと決めて掛かって取り組んでもらって構わないです。
　(1)は数学的帰納法を利用した典型的な証明問題です。n、n+1、n+2と隣接３次にまたがった式変形が必要になります。証明の始めをn=1、n=2にしているのはその為です。
　(2)はαのままで考えても全く先に進めません。(1)で証明した事でβに置き換えることが可能となるので、それで何ができるか考えてみましょう。sinを使った極限は「はさみうちの原理」か「１に収束する公式」の２択です。どちらが使えるかを考えながら解き進めてください。